La géométrie des masses permet de déterminer les centres de gravité et la matrice
d'inertie d'un solide, notions utilisées dans les chapitres suivants
Chap. 5: GEOMETRIE DES MASSES
1-
CENTRE DE GRAVITE
11-
Systèmes de solides ponctuels
· Soit une distribution de masse (Pi, mi), le centre
de gravité G est défini par le barycentre des n points Pi
affectés des coefficients égaux aux masses mi.
ou
12- Corps matériels homogènes
121- Définitions générales
· Ligne matérielle: (tige, fil, ...)
Pour une tige homogène, on a:
Exemple: demi-cerceau
d’où:
· Surface matérielle: (plaque, coque, ...)
Pour une surface homogène, on a:
· Volume matériel:
Pour un volume homogène, on a:
122- Simplifications éventuelles
· Si un ensemble de masse M est composé de plusieurs
solides de masse Mi, il est possible de trouver le centre de
gravité G en concentrant les masses Mi aux centres de gravité
Gi et en écrivant:
· Si un corps admet un plan, un axe ou un centre de
symétrie, alors son centre de gravité se trouve dans ce plan,
sur cet axe ou ce point.
123- Méthodes de calcul
a) Théorèmes de GULDIN
· Soit une courbe (L) tournant autour de l'axe Oy ,
ne le coupant pas. L'élément dl engendre une surface ds telle
que:
La surface totale engendrée sera
:
compte tenu de la définition du
centre de gravité d'une ligne matérielle.
· Soit une surface plane (S) tournant autour de l'axe
Oy , ne le coupant pas. L'élément ds engendre un volume dv tel
que:
Le volume total engendré sera :
compte tenu de la définition du
centre de gravité d'une surface matérielle
· Exemple: Centre de gravité d'une demi
plaque circulaire.
b- Surfaces planes
· Surfaces planes définies sous forme
cartésienne
d'où: 
et 
· Surfaces planes définies sous forme polaire
| Remarque: · Il est nécessaire de transformer toutes
les quantités en fonction de variables indépendantes
avant de procéder à l'intégration.
|
2-
MOMENTS D'INERTIE ET PRODUITS D'INERTIE
21-
Systèmes de solides ponctuels
· Le moment d'inertie d'un système (Pi, mi) par
rapport à un plan p , à une droite D ou à un point
O est défini par:
représentant la distance de 
au plan p , à
la droite D ou au point O
| Remarque: · Un moment d'inertie est toujours positif ou
nul.
|
· On appelle produits d'inertie d'un système (Pi,
mi) par rapport à un système d'axe Ox, Oy, Oz les expressions:
22- Corps matériels homogènes
· Le moment d'inertie d'un corps matériel
homogène (S) par rapport à un plan p , à
une droite D ou à un point O est défini par:
représentant la distance du point courant
,
centre de gravité de l'élément élémentaire 
, au plan p , à
la droite D ou au point O
· Les produits d'inertie se
définissent alors par:
· Expressions analytique
des moments d'inertie
¨ par
rapport au point O:
¨ par
rapport aux axes Ox, Oy, Oz
Axe Ox: 
Axe Oy: 
Axe Oz: 
Soit:
¨ par
rapport aux plans de bases yOz, xOy, xOz
Plan yOz: 
Plan xOz: 
Plan xOy: 
Soit:
23- Matrice d'inertie
Pour un système d'axes
Ox, Oy, Oz, on définit la matrice d'inertie
d'un solide en un point O sous la forme:
24-
Transport des moments et produits d'inertie
241- Axes parallèles aux axes de bases et
passant par G
2411- Moments d’inertie: Théorème de HUYGENS
or
· d’où: 
car a et b sont des constantes
indépendantes de 
.
· G est le centre de gravité de (S) d’où 
· de plus 
d’où:
De même , on obtiendrait:
En généralisant, on obtient:
| Le moment d’inertie
d’un solide (S) par rapport à un axe D passant par un point quelconque 0 est égal
à la somme du moment d’inertie par rapport à un
axe parallèle à D passant par G le centre de
gravité de (S) et le produit de la masse M du solide par
le carre de la distance de l'axe à G: 
|
2412- Produits d’inertie
or
d’où: 
car b et c sont des constantes
indépendantes de .
G est le centre de gravité de (S)
d’où 
de plus d’où:
De même , on obtiendrait:
242-
Axes quelconque passant par O, sommet du trièdre de base
Soit (T0) Ox0y0z0
un trièdre de base et D un axe quelconque passant par 0 et de
vecteur directeur unitaire 
.
Soit P’ la projection
orthogonale du point P sur l’axe D
P’P est la distance de P à
l’axe D d’où:
or 
On obtient finalement:
Ou sous forme matricielle:
| Remarques: · On appelle axes principaux d’inertie,
les axes pour lesquels les produits d’inertie sont
nuls
· Dans le cas des surfaces planes, deux des
produits d’inertie sont nuls.
ex surface dans le plan
Oxy: pour tous points P de la surface, z = 0
d’où D = E = 0
· Dans le cas des solides de révolution, les
axes perpendiculaires à l’axe de révolution jouent
le même rôle.
ex volume de
révolution autour de Oz:  et  .
D’après les
relations vues précédemment, on en déduit que A = B =
C/2
|
25-
Formulaires
Matrices en G
|
Matrices en A
|
Schémas
|
| Tige |
(M,L) |
|
|
|
|
| Plaque
rectangulaire |
(M, 2a*2b) |
|
|
|
 |
| Parallélépidéde
rectangle |
(M,
2a*2b*2c) |
|
|
|
|
Matrices en G
|
Matrices en A
|
Schémas
|
| Cylindre
plein |
(M,R,H) |
|
| |
|
|
| Couronne
circulaire |
(M, R) |
|
|
|
|
| Plaque
circulaire |
(M, R) |
|
|
|
|
| Sphère
creuse |
(M, R) |
|
|
|
|
| Sphère
pleine |
(M, R) |
|
|
|
|
Philippe MARON
I.S.A. B.T.P.
1, Allée du parc Montaury
64600 ANGLET
tel: 05 59 57 44 29
fax: 05 59 57 44 39
Email: philippe.maron@univ-pau.fr
Mis à jour
le: 11/02/04
1- CENTRE DE GRAVITE
11- Systèmes de solides ponctuels
121- Définitions générales
et 
est
assimilé à un triangle de base 
, de hauteur 
. On en
déduit l'expression de 
et donc 
se trouve
entre les plans 
et 
, 
petit
soit: 
d'où:
soit: 
d'où:
